74. Pour que 2n-1 soit premier, il faut que n soit premier.
Car 2n'n"-1 est divisible par 2n'-1 et 2n"-1.
La condition n'est pas suffisante :
                     211-1 = 2047 = 23 * 89.
Les nombres
            N = 2n-1
où n est premier, sont dits nombres de Mersenne.


  75. Il y a 55 nombres premiers non supérieurs à 257. Mersenne a
affirmé que seules donnent des nombres premiers les 11 valeurs de n :
      2,  3,  5,  7,  13,  17,  19,  31,  61,  127,  257.
La question des nombres de Mersenne n'est pas entièrement résolue(1):
  a) La primalité de N a été vérifiée pour
     2,  3,  5,  7,  13,  17,  19,  31,  61,  89,  107,  127.
  b) On sait que N est composé pour
     11,  23,  29,  37,  41,  43,  47,  53,  59,  67,  71,  73,
     79,  83,  97, 113, 131, 151, 163, 173, 179, 181, 191, 197,
              211, 223, 233, 239, 251,
     101, 103, 109, 137, 139, 257.
  (Pour les nombres de la 1re ligne, on connaît la factorisation complète;
pour ceux des 2e et 3e, on la connaît incomplètement; pour ceux de
la 4e, on ne connaît aucun facteur.)
  c) Enfin, rien n'est démontré pour
             149,  157,  167,  193,  199,  227,  229,  241.


  76. Bien que l'affirmation de Mersenne comporte quelques erreurs,
elle n'en est pas moins troublante. A ce sujet, Rouse-Ball écrit : <<Mer-
senne était un bon mathématicien sans être un génie exceptionnel et il
serait étrange qu'il eût réussi à établir une proposition devant laquelle
ont échoué des hommes tels qu'Euler, Lagrange, Legendre, Gauss, Jacobi
et d'autres mathématiciens de premier ordre. Mais si la proposition est
due à Fermat, avec lequel Mersenne entretenait une correspondance
suivie, la question se trouve changée, et non seulement on s'explique
l'absence de démonstrations, mais encore on n'est pas certain d'avoir
attaqué convenablement le problème. >> Il est difficile de rendre un plus
bel hommage à Fermat.


  77. Les nombres de Mersenne jouent un rôle essentiel dans l'étude
des nombres parfaits (voir XI, D).
()Voir KRAITCHIK, La mathématique des Jeux(Stevens, Bruxelles, 1930),p.100; ROUSE-
BALL, Récréations mathématiques(Hermann, Paris, 1926), tome I,p.307.